Calculadora de MCM y MCD
Ingresa entre 2 y 10 números enteros positivos y obtén el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, con el procedimiento.
Calcula el MCM y el MCD
Qué es el MCD
El máximo común divisor (MCD) de varios números es el mayor número que divide a todos ellos sin dejar resto. Por ejemplo, los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y los de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18. El mayor que tienen en común es 6.
Qué es el MCM
El mínimo común múltiplo (MCM) es el menor número, distinto de cero, que es múltiplo de todos los números dados. Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48… y los de 18 son 18, 36, 54… El primero que coincide es 36.
Diferencia entre MCM y MCD
El MCD es siempre menor o igual que el menor de los números y sirve para repartir o simplificar. El MCM es siempre mayor o igual que el mayor de los números y sirve para coincidir o igualar. Para dos números, además, se cumple que MCD × MCM = producto de los dos números (6 × 36 = 12 × 18 = 216).
Métodos de cálculo
Listar divisores o múltiplos
Es lo más intuitivo y útil con números pequeños, pero se vuelve largo con números grandes.
Descomposición en factores primos
Se escribe cada número como producto de primos. El MCD toma los factores comunes con su menor exponente; el MCM toma todos los factores con su mayor exponente.
12 y 18
12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3². MCD = 2 × 3 = 6. MCM = 2² × 3² = 36.
Algoritmo de Euclides (para el MCD)
Se divide el mayor entre el menor y se repite con el divisor y el resto, hasta que el resto sea cero. El último divisor es el MCD. Con 12 y 18: 18 = 12 × 1 + 6, y 12 = 6 × 2 + 0, por lo tanto MCD = 6.
Con el MCD, el MCM de dos números se obtiene con MCM(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b). Para más de dos números se aplica de forma sucesiva: primero con los dos primeros y luego con el resultado y el siguiente número.
Ejemplo con tres números
8, 12 y 20
8 = 2³, 12 = 2² × 3 y 20 = 2² × 5. Factores comunes: solo el 2, con menor exponente 2² = 4, así que MCD = 4. MCM: 2³ × 3 × 5 = 120.
Aplicaciones
- Simplificar fracciones: se divide numerador y denominador entre su MCD. Por ejemplo, 12/18 = 2/3.
- Sumar fracciones con distinto denominador: el MCM de los denominadores sirve como denominador común.
- Problemas de coincidencias: si un autobús pasa cada 12 minutos y otro cada 18, volverán a coincidir cada 36 minutos.
- Problemas de reparto: dividir 12 y 18 objetos en grupos iguales, lo más grandes posible, da grupos de 6.
Si necesitas trabajar con proporciones, revisa también la calculadora de regla de tres.
Preguntas frecuentes
¿Cómo sé si un problema pide el MCM o el MCD?
Fíjate en lo que se busca. Si el problema habla de repartir, cortar o agrupar en partes iguales lo más grandes posible, pide el MCD. Si habla de volver a coincidir, de un mismo momento o de una cantidad que sea múltiplo de todas, pide el MCM.
¿Por qué MCD × MCM no da el producto cuando hay tres números?
Porque esa relación solo se cumple con dos números. Con 8, 12 y 20, el MCD es 4 y el MCM es 120: 4 × 120 = 480, mientras que 8 × 12 × 20 = 1.920.
¿Qué pasa si los números no tienen divisores comunes?
Si solo comparten el 1 (son primos entre sí), el MCD es 1 y el MCM es el producto de los números. Por ejemplo, con 7 y 13 el MCM es 91.
¿Cuántos números puedo ingresar?
Entre 2 y 10 números enteros positivos. No se aceptan decimales, ceros ni negativos.